Montrer que si \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) est une bijection, et si \(\sum u_k\) est une série à termes positifs convergente tendant vers \(\ell\), alors \(\sum u_{\sigma(k)}\) est convergente et tend vers \(\ell\)

Soit $$T_n=\sum^n_{k=0}u_{\sigma(k)}\quad\text{ et }\quad S_n=\sum^n_{k=0} u_k$$
On suppose que \(S_n\) est croissante et est convergente vers \(\ell\)

Soit \(N=\max\{\sigma(k)\mid k\leqslant n\}\)
Alors $$T_N\leqslant S_n\leqslant\sum_N u_n\lt +\infty$$

\(T_n\) étant une suite croissante et majorée, elle converge donc vers \(\ell_\sigma=\sum^n_{k=0}u_{\sigma(k)}\) d'après le théorème de convergence monotone

On a donc : $$\sum_n u_{\sigma(k)}=\ell_\sigma\leqslant\ell=\sum_n u_n\tag{1}$$
Montrons que \(\ell_\sigma=\ell\)

On note \(v_n=u_{\sigma(n)}\)
Puisque \(\sigma\) est une bijection, il existe \(\sigma^{-1}:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) qui est aussi une bijection

Alors $$\sum_n v_{\sigma^{-1}(n)}\leqslant\sum_nv_n\iff\sum_n u_{\sigma^{-1}(\sigma(n))}\leqslant\sum_n u_{\sigma(n)}\iff\sum_n u_n\leqslant\sum_nv_{n}$$
On a \(\ell_\sigma\leqslant\ell\) et \(\ell\leqslant\ell_\sigma\), donc on a bien \(\ell_\sigma=\ell\)

(Théorème de convergence monotone (suites))

Montrer que si \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) est une bijection, et si \(\sum u_k\) est absolument convergente tendant vers \(\ell\), alors \(\sum u_{\sigma(k)}\) est convergente et tend vers \(\ell\)

Lemme : soit \(u_n\in{\Bbb R}\) le terme général d'une série convergente
Alors on a : $$\sum\lvert u_n\rvert\text{ converge }\iff\sum u_n^+\text{ et }\sum u_n^-\text{ convergent}$$
Avec $$u_n^+=\begin{cases} u_n&\text{si}\quad u_n\geqslant0\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}\quad\text{ et }\quad u_n^-=\begin{cases} -u_n=\lvert u_n\rvert &\text{si}\quad u_n\lt 0\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Démonstration du lemme : \(\implies\) :
Supposons \(\sum\lvert u_n\rvert\lt +\infty\)
Alors on a $$u_n^+\leqslant\rvert u_n\rvert=u_n^++u_n^-$$
\(\lvert u_n\rvert\) est le terme général d'une série convergente, donc \(u_n^+\) et \(u_n^-\) le sont aussi

\(\impliedby\) : si \(\sum u_n^+\) et \(\sum u_n^-\) convergent, alors on a : $$\sum(u_n^++u_n^-)=\sum\lvert u_n\rvert$$
Donc \(\sum\lvert u_n\rvert\) est convergente

Application du lemme :
On a : $$u_{\sigma(n)}=u_{\sigma(n)}^+-u_{\sigma(n)}^-\implies\begin{align}\sum u_{\sigma(n)}^+&=\sum u_n^+\\ \sum u_{\sigma(n)}^-&=\sum u_n^-\end{align}\implies\sum u_{\sigma(n)}=\sum u_n$$